保形检验鞅的信息几何盲区：分布漂移为何检测不到

保形检验鞅（Conformal Test Martingales, CTMs）是序贯检验可交换性的e-process，通过保形函数A产生的p值进行检验。然而，任何保持推前分布P∘A⁻¹不变的分布漂移，都会使p值分布保持不变，从而对所有基于A的CTM不可见。这一盲区在信息几何框架下被形式化为A-等价类[P]_A，并揭示了其与KL散度下最近元素——A-隐秘I-投影——的深刻联系。

保形检验鞅的盲区机制

CTM的核心在于利用保形函数A将高维数据映射为一维p值，进而构造e-process。但这一降维过程天然存在信息损失：只要分布漂移不改变保形分数的边缘分布，p值序列的统计行为就完全不变。换言之，CTM只能检测那些改变了A的推前分布的漂移，而对于在A下“隐形”的漂移则无能为力。这种盲区并非统计功效不足，而是由保形函数的定义决定的根本性限制。

e-process与保形p值：e-process是一类非负鞅（或超鞅），在零假设下其期望不超过1，从而通过Ville不等式提供 anytime-valid 的序贯检验。保形检验鞅（CTM）是e-process的一个特例：它利用保形函数A将每个数据点映射为一个保形分数，进而计算保形p值，并将这些p值组合成e-process。保形p值的构造保证了在可交换性零假设下，p值序列是有效的（即超均匀的），因此CTM能够在任意停止时间控制第一类错误。理解这一点是把握盲区机制的前提：CTM的有效性仅依赖于保形p值的分布性质，而该分布完全由保形分数在零假设下的推前分布决定，因此任何不改变该推前分布的漂移都不会影响p值序列的统计行为。

A-等价类与隐秘I-投影

论文通过A-等价类[P]_A形式化了盲区：所有在A下与P具有相同推前分布的分布构成一个等价类。对于任意目标分布T，该等价类中存在唯一的KL散度最近元素Q*，称为A-隐秘I-投影，其密度具有显式表达式q*(z) = t(z)p_S(A(z))/t_S(A(z))。这一结果将盲区内的分布漂移分解为可检测成分与隐秘成分，并给出类似勾股定理的分解形式。当A取Neyman-Pearson似然比时，隐秘成分消失，这与最优e值设计的已知结论一致，说明盲区大小取决于保形函数的选择。

信息几何中的I-投影与KL散度：信息几何将概率分布族视为统计流形，KL散度则充当一种非对称的“距离”。给定一个分布T和一个约束集（此处为A-等价类[P]_A），I-投影指的是在约束集中寻找使KL散度D(T||Q)最小的分布Q*。由于KL散度不是对称的，I-投影一般不同于反I-投影（即最小化D(Q||T)）。文中A-隐秘I-投影正是将T投影到[P]_A上的结果，其密度表达式q*(z) = t(z)p_S(A(z))/t_S(A(z))可通过变分法或对约束条件引入拉格朗日乘子推导得到。该投影的“隐秘”之处在于：Q与P在A下具有相同的推前分布，因此CTM无法区分二者，但Q在原始数据空间中的支撑可能和P截然不同。类似勾股定理的分解则表明，T与P之间的KL散度可分解为T到Q的散度加上Q到P的散度，其中第一项对应可检测成分，第二项对应隐秘成分。

Neyman-Pearson似然比与最优e值：在简单假设检验中，Neyman-Pearson引理指出似然比是最优检验统计量。在e-value框架下，似然比本身就是一个e-value，并且在某些意义下是最优的（例如在备择假设下具有最大的期望对数增长）。当保形函数A取为似然比时，A-等价类退化为单点集（或极其受限的集合），隐秘成分消失，这意味着CTM的盲区被最小化。这一联系揭示了保形函数选择与检验功效之间的深层权衡：A越接近似然比，盲区越小，但似然比通常依赖于未知的备择分布，实际中难以精确获得，因此需要在盲区大小与可计算性之间做出折中。

高维图像数据上的实证

为验证理论，作者在高维图像数据上经验构造了该I-投影。实验采用EMNIST字母与MNIST数字数据集：通过条件重采样EMNIST字母，使其保形分数与MNIST数字完全匹配，从而构造出一个与原始分布支撑不相交、却使CTM在数学上完全失明的分布漂移。这一实验直观展示了盲区的现实性——即使数据分布发生显著变化，只要保形分数对齐，CTM的检验统计量就毫无反应。

对e-value设计与实践的意义

该研究揭示了CTM的盲区与保形函数选择之间的定量关系。Neyman-Pearson似然比作为保形函数时盲区消失，这为设计更稳健的e-value提供了理论指引：在实际应用中，应尽量选择能保留更多判别信息的保形函数，或结合多个保形函数构建复合检验。同时，A-隐秘I-投影的显式构造也为评估现有CTM的盲区大小提供了可计算工具，有助于在分布漂移检测场景中量化风险。

局限与展望

当前工作聚焦于可交换性检验的盲区分析，对于更一般的序贯检验场景，盲区的刻画可能更为复杂。此外，高维数据下保形函数的计算成本与盲区大小之间的权衡仍需进一步研究。未来方向包括开发自适应保形函数选择策略，以及将信息几何工具推广到其他e-process构造中。