OpenAI一夜发722篇数学手稿：挂谷猜想被AI推到四维

今年7月，王虹和邓煜在费城国际数学家大会上摘得菲尔兹奖。消息刷屏那几天，Anthropic员工Alek Dimitriev在X上留下一句意味深长的话：这届菲尔兹奖，将是人类最后一次拿到这个奖。往届得主Timothy Gowers跟帖说自己也有过类似想法，并给出一个相对乐观的推断——人类大概能撑到2030年。

没想到现实来得更快。10月7日，OpenAI一口气放出722篇数学手稿，论文和部分Lean证明全部上传到Github。其中编号074的一组只有两篇，正是王虹拿奖的那个方向——挂谷猜想。一篇声称证明了更强版本的三维挂谷极大函数猜想，另一篇声称证明了四维挂谷猜想。两篇手稿加起来272页，作者栏只有一个词：OpenAI。

挂谷猜想是什么，为什么这么难

1917年，日本数学家挂谷宗一提出一个问题：在平面上让一根长度为1的针掉头转一圈，最少需要多大面积？Besicovitch给出的答案反直觉到极点——面积可以任意小，甚至一个集合可以在每个方向上都装下一根单位长的针，面积却是零。

面积靠不住，数学家就换了把尺子，用「维数」来量。这里的维数不是日常的长宽高，而是Hausdorff维数、Minkowski维数这类工具，用来衡量极不规则集合在不同尺度下的复杂程度。一个集合的体积可以是0，却仍可能拥有完整的空间维数。

挂谷猜想因此被表述为：在n维空间里，只要一个集合在每个方向上都装得下一根单位线段，它的维数就必须是满的n维。难点在于这些细线段如何交错、重叠，以及重叠后能不能把集合压得更小。

平面情形1971年就被Davies证完；三维卡了半个世纪，直到王虹和Joshua Zahl拿下；四维及以上，此前没有人证出来。

Hausdorff维数是20世纪初由数学家Felix Hausdorff引入的一种分形维数，能够给那些介于整数维之间的「病态」集合赋予维度。直观理解：一条光滑曲线的Hausdorff维数是1，一个平面区域是2，而像科赫雪花这样的分形曲线的Hausdorff维数约为1.26——它比线复杂，却又填不满平面。Minkowski维数（又称盒计数维数）是另一种类似工具，通过用边长为ε的小盒子覆盖集合、统计所需盒子数量的增长率来衡量复杂度。两者对大多数「规则」集合给出相同结果，但在极端情形下可以产生差异，王虹和Zahl的2025年证明之所以受到高度评价，正是因为同时搞定了这两种维数版本，而非只解决其中一种。

两篇手稿分别做了什么

第一篇97页，处理的是三维挂谷极大函数猜想。相比王虹和Zahl证明的「集合版」，极大函数版更为细致：把每根针加粗成细管子，假设每根管子里只有比例为λ的部分是「实心」，所有实心部分并起来的体积能否保证不小于λ³这个量级？λ越小管子越空越难控制。集合版只需要一个比较宽松的λ幂次，极大函数版则要求幂次恰好是3。

OpenAI在引言里明确写出，王虹和Zahl的定理给出的是λ的K(ε)次方，而换成λ³的需求在他们定理之后就被提出——这正是王虹和Zahl留下的下一步，而这篇论文声称把它解决了。这一结果之所以重要，是因为挂谷极大函数把「各种方向的细管如何挤在一起」变成可计算的分析问题，与傅里叶限制猜想、Bochner-Riesz猜想紧密相连。

第二篇175页，处理四维挂谷集的Hausdorff维数。人类此前的进度相当缓慢：1995年Wolff证到维数至少3；Guth和Zahl推到约3.025；2019年Katz和Zahl推到3.059，此后基本都在小数点后第二三位挪动。而这篇论文声称直接证到4。

四维难在哪？Guth指出，王虹和Zahl三维证明中的关键定理搬到四维就不成立，因为高维空间里管子可以扎堆聚在低次代数曲面附近，形成三维没有的反例结构。OpenAI的核心工具是用二次多项式在不同尺度上做局部拟合，追踪跨尺度持续聚集的线——全文中「polynomial」出现了213次。

两篇论文构成一条链路：四维论文的关键输入之一，引用了三维那篇论文里的一个引理。不过这组成果有明确边界——四维只证了Hausdorff维数版本，没解决四维极大函数猜想，五维及以上也未证完。更关键的是，074号这组成果没有Lean形式化，也没经过同行评审，OpenAI在README里直言一些未经形式化的结果「可能有问题」。

傅里叶限制猜想和Bochner-Riesz猜想是调和分析中两个核心未解问题，与挂谷猜想在技术上深度交织。傅里叶限制猜想问的是：把一个函数的傅里叶变换「限制」在某个弯曲曲面（如球面、抛物面）上，其L^p范数能否被原函数的L^q范数控制？挂谷极大函数恰好捕捉了管状邻域在各方向上的聚集行为，而这种聚集方式与傅里叶积分在曲面附近的振荡衰减速率本质相关。历史上，对挂谷集的理解每推进一步，往往同步带动这两个猜想上的进展，反之亦然——三者构成一张相互支撑的问题网络，这也是为何极大函数版本（而非仅集合维数版本）在分析学界被视为更有实用价值的结果。

王虹的工作是这一切的地基

有人说，王虹赶在AI之前拿下菲尔兹奖算是幸运。但翻开这两篇论文全文，出现最多的名字之一恰恰就是王虹——仅三维那篇，「Wang」就出现了23次。

三维挂谷这座山峰，人类爬了很多年。Katz、Łaba和Tao很早就发现近乎极端的管子构型会呈现粘性、平面性、颗粒性三种结构，但几十年里没人能做成完整证明。王虹和Zahl分三步走：2022年先证粘性情形，2024年拿下Assouad维数版本，2025年2月放出127页完整证明，一次性解决三维挂谷集猜想的Hausdorff和Minkowski维数版本。Nets Katz评价这是「百年一遇的结果」。

OpenAI的论文正是建在这个框架上。三维论文直接调用了Guth、王虹、Zahl三人的简化证明（Guth正是王虹在MIT读博时的导师），还用到任康和王虹的平面Furstenberg估计；四维论文则用到王虹和Zahl的一个点积定理。如果这两篇最终被确认成立，它们也是在王虹搭好的地基上往上加盖了两层。

王虹本人对AI并不排斥。获奖后接受采访时，她把AI形容为数学研究的「主动性助推器」，认为提出问题、创造概念、构建理论仍是数学家的核心工作。

数学界的分裂：抵制与期待并存

这次事件之所以引发轩然大波，在于节奏的颠覆。过去一个重要数学结果的生命周期大致是：一个小团队花几年做出来，挂到arXiv，同行审稿一两年，学界慢慢消化。王虹和Zahl走完这条路，从2022年粘性情形到2026年菲尔兹奖，用了将近四年。而OpenAI一夜放出722篇手稿，平均每个结果约用三小时的ChatGPT Pro思考算力，只有约42%做了Lean形式化。

陶哲轩牵头人类数学协会（AHM）发布联合声明，措辞相当严重：一次性发布700多个文件展示的不是学术，而是权力，并强烈敦促数学家停止与OpenAI合作。陶哲轩本人一直是AI辅助研究的积极使用者，他反对的是把批量攻克著名难题当成产品展示——在他看来，一道题被AI解掉就没法再变回未解决状态，人类原本可能在这道题上发展出的新方法和新理解也就跟着断掉了。

审稿成了最大瓶颈。一篇175页的四维证明，全世界能认真读懂的人屈指可数，谁来读、花多久、算谁的工作量都是未知数。署名和归属也开始混乱，研究同一问题的学者可能一觉醒来发现题目已被模型「声称」解决——证明对不对还没人知道，但选题已经很难再做下去。

也有人感到兴奋。多伦多大学助理教授Daniel Litt认为数学家接下来有大量激动人心的工作要做；Yann LeCun则认为数学正迎来新时代，形式证明将大幅自动化，重点转向发展新概念、新抽象、新定义和新猜想。他打了个比方：船的发明降低了游泳的重要性，却让我们发现新大陆。

Gowers说人类大概能撑到2030年，而下一届菲尔兹奖恰好在2030年颁发。到那时候，还会有人类站上领奖台吗？这个问题，眼下还没有答案。

Lean是一种由微软研究院开发、现由社区维护的交互式定理证明器，基于依值类型论（dependent type theory）构建。数学家用Lean写证明时，每一步推导都必须符合严格的形式化语法，系统会自动验证逻辑链条是否无误——这意味着一旦Lean接受了证明，其正确性在逻辑层面几乎是机器级别的保证。相比之下，传统同行评审依赖人类专家的阅读与判断，在证明极长或技术极深时容易遗漏错误（历史上不乏发表多年后才被发现漏洞的著名证明）。OpenAI此次约42%的论文附有Lean形式化，被视为部分可信度背书；而包括四维挂谷猜想在内的未形式化部分，OpenAI自己在README中也承认「可能有问题」，这是此次发布在学界引发强烈不安的重要原因之一。