布朗运动
连续时间随机过程，增量服从高斯分布，样本路径连续，是传统基于分数的生成模型的核心驱动力
时间轴 (近 90 天)
Lévy 过程是一类具有独立平稳增量的随机过程，布朗运动是其特例，复合泊松过程是最简单的跳跃型 Lévy 过程。
在任何正生成时刻，α稳定动力学产生的分布具有指数为α的幂律尾部，而布朗动力学始终保持轻尾，这是一个不依赖具体目标分布或训练细节的定性分离。
α稳定Lévy过程是布朗运动的推广，布朗运动对应α=2的稳定过程，α<2时过程允许任意大的跳跃且跳跃呈现重尾特征。
SGD的迭代 $x_{k+1} = x_k - \eta \nabla f(x_k) + \eta \xi_k$ 在步长 $\eta \to 0$ 时，其轨迹可由一个SDE逼近：$dX_t = -\nabla f(X_t)\,dt + \sqrt{\eta}\,\Sigma\,dW_t$。
布朗运动具有独立增量、正态分布增量和连续样本路径三大特征，但路径几乎处处不可微
布朗运动具有独立增量、正态分布增量和连续样本路径三大特征，且路径几乎处处不可微
布朗运动由爱因斯坦在1905年给出了严格的数学描述，奠定了随机过程理论的基础
全部知识事实 (7)
Lévy 过程是一类具有独立平稳增量的随机过程，布朗运动是其特例，复合泊松过程是最简单的跳跃型 Lévy 过程。
50%待验证在任何正生成时刻，α稳定动力学产生的分布具有指数为α的幂律尾部，而布朗动力学始终保持轻尾，这是一个不依赖具体目标分布或训练细节的定性分离。
50%待验证α稳定Lévy过程是布朗运动的推广，布朗运动对应α=2的稳定过程，α<2时过程允许任意大的跳跃且跳跃呈现重尾特征。
50%待验证SGD的迭代 $x_{k+1} = x_k - \eta \nabla f(x_k) + \eta \xi_k$ 在步长 $\eta \to 0$ 时，其轨迹可由一个SDE逼近：$dX_t = -\nabla f(X_t)\,dt + \sqrt{\eta}\,\Sigma\,dW_t$。
50%待验证布朗运动具有独立增量、正态分布增量和连续样本路径三大特征，但路径几乎处处不可微
50%待验证布朗运动具有独立增量、正态分布增量和连续样本路径三大特征，且路径几乎处处不可微
50%待验证布朗运动由爱因斯坦在1905年给出了严格的数学描述，奠定了随机过程理论的基础
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